Cálculo Diferencial e Integral Grupo 501, 601.

miércoles, 19 de octubre de 2011

Derivada del seno

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x + h)-\sin x}{h}$

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}$

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos h-1)+\cos x\cdot\sin h}{h}$

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos(h)-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}$

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=0,$ esto es así ya que

$\cos\phi-\cos\theta=-2\sin\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)$

reemplazando para

θ = h

ϕ = 0

Se tiene que:

$-2\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)$

y utilizando el límite conocido: $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1$

Se obtiene que el primer término es 0, entonces

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1$

$\sin'x=\cos x\,$

miércoles, 19 de octubre de 2011