martes, 18 de octubre de 2011

derivacion de las funciones trigonometricas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}
Por tanto si f(x) = sin(x)
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}
A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}
Reordenando los términos y el límite se obtiene
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}
El valor de los límites
\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}
Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
f'(x)=\cos(x) \,

[editar] Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}
A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}
Operando se obtiene
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}
Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}
El valor de los límites
\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}
Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),
f'(x)=-\sin(x) \,
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