lunes, 17 de octubre de 2011

derivada de la función seno


Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}
Por tanto si f(x) = sin(x)
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}
A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}
Reordenando los términos y el límite se obtiene
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}
El valor de los límites
\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}
Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
f'(x)=\cos(x) \,

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