Cálculo Diferencial e Integral Grupo 501, 601.: trinidad ibañez castañeda 501

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lunes, 21 de noviembre de 2011

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

martes, 18 de octubre de 2011

derivacion de las funciones trigonometricas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

Por tanto si f(x) = sin(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}$

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Reordenando los términos y el límite se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

$f'(x)=\cos(x) \,$

[editar] Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

Operando se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}$

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x) \,$

velocidad instantanea

Objetivos particulares
El estudiante determinará la velocidad instantánea de un objeto conociendo su posición en diferentes instantes de tiempo.
Teoría
La velocidad media de un objeto, se define como el cociente del desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido (
La velocidad instantánea en un tiempo dado, se define como el valor límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
txv).
=
vlim_{Δt→0txA esta expresión se le conoce también como la derivada de la posición con respecto al tiempo; es decir, la velocidad instantánea está dada por dtdxv. =ΔΔ}ΔΔ=

martes, 13 de septiembre de 2011

teoria de limites

Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo E_b,ε existe un E^*_a,δ1 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) pertenece al E_b,ε.
lim_x->af(x)=c => (por def. de límite) para todo E_c,ε existe un E^*_a,δ2 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 f(x) pertenece al E_c,ε.
Consideremos un ε tal que E_b,ε ∩ E_c,ε = Ø.
Entornos de b y c disjuntos

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple

f(x) pertenece a E_b,ε
f(x) pertenece a E_c,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.