Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea.
Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:
: S en pies t en segundos Asi, en el primer segundo, cae 16 pies.
en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.
En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.
Asi que su velocidad promedio será:
En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies.
Su velocidad promedio será de:
En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies.
Sus velocidades promedio serán respectivamente:
Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t = 1 seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg.
Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg.
El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea.
Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).
En el instante t = c, el objeto está en f (c).
En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig. 9.7.)
Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:
Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi:
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