Cálculo Diferencial e Integral Grupo 501, 601.: octubre 2011

jueves, 20 de octubre de 2011

funciones trigonometricas

Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno,

VELOCIDAD INSTANTANEA

ALGUNOS EJEMPLOS

miércoles, 19 de octubre de 2011

¿Cómo derivar la función seno?

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO.
Dentro de ella podemos encontrar las diferentes ecuaciones.

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Concluyendo así la derivación de la función de seno.

La Velo0cidAd instaNtaNia

La velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo

V(t)=dr/dt

siendo V y dr magnitudes vectoriales.
Esto quiere decir que V y dr tienen la misma dirección.
dr es el vector desplazamiento infinitesimal en ese instante.
O sea, la velocidad instantánea tiene la dirección del desplazamiento infinitesimal medido en ese instante.
Por supuesto si medimos el vector desplazamiento en un intervalo de tiempo no infinitesimal Ar, lo que tiene la misma dirección que el vector desplazamiento no es la velocidad instantánea ( que además ha podido cambiar a lo largo del intervalo, sino la velocidad media)
Vm=Ar/At ---> Vm tiene la dirección de Ar

Es decir, la respuesta es sí siempre y cuando te refieras al vector desplazamiento entre ese instante t y el instante infinitamente cercano t+dt.
Es falsa si lo mides entre t y un tiempo no infinitesimal t+At.
Por supuesto todo esto es en general. En movimientos rectilineos todos coinciden en dirección.

Derivada del seno

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

lo que es

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x + h)-\sin x}{h}$

Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}$

Factorizando

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos h-1)+\cos x\cdot\sin h}{h}$

Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos(h)-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}$

Como:

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=0,$ esto es así ya que

$\cos\phi-\cos\theta=-2\sin\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)$

reemplazando para

θ = h

ϕ = 0

Se tiene que:

$-2\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)$

y utilizando el límite conocido: $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1$

Se obtiene que el primer término es 0, entonces

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}$
Como:

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1$

Por ello puede simplificarse, y se tiene que

$\sin'x=\cos x\,$

velocidad instantanea

Velocidad instantánea

En términos matemáticos se dice que la velocidad instantánea es el límite del cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo, cuando el tiempo tiende a cero. Se puede decir también que la velocidad instantánea es la derivada de vector desplazamiento con respecto al tiempo. La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

Velocidad instantánea

funciones trigonometricas

la velocidad instantanea

La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

$\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}$

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:

$\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}$

funciones trigonometricas

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

velocidad instantanea

La velocidad instantánea en un tiempo dado, se define como el valor límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. es una velocidad puntual, es decir, se mide a cada instante en el que tu quieras conocerla.
la formula es similar a la de la velocidad , pero aqui, la distancia recorrida, en los intervalos de tiempo elegidos son medidos a cada instante, es decir, el intervalo de tiempo, tiende a cero, algo asi como el concepto de derivada en calculo diferencial, recuerda que la velocidad es igual a un gradiente de distancia entre uno de tiempo tiempo transcurrido que necesita el movil para de ir de un punto aotro, cuando este intervalo de tiempo, tiende a cero, se obtiene la velocidad instantanea.

martes, 18 de octubre de 2011

¿Cómo derivar la velocidad instantánea?

¡HOLA!
Primero que nada necesitamos saber que es una derivada.

La Derivada.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones.

La derivación de la velocidad instantánea.
La derivación es un proceso matemático mediante el cual un incremento tiende a 0

Δ→0 logra y evidencia una pendiente sobre una función dada siempre y cuando la función no se descontinué en ese lapso.

Velocidad instantánea.

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo α.

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real x con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, x. Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:

velosidad instantanea por allan genaro

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se la representa por o . Sus dimensiones son [L] / [T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s.
En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, al cual se le denomina celeridad o rapidez.
De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

derivacion de las funciones trigonometricas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

Por tanto si f(x) = sin(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}$

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Reordenando los términos y el límite se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

$f'(x)=\cos(x) \,$

[editar] Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

Operando se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}$

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x) \,$

velocidad instantanea

Objetivos particulares
El estudiante determinará la velocidad instantánea de un objeto conociendo su posición en diferentes instantes de tiempo.
Teoría
La velocidad media de un objeto, se define como el cociente del desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido (
La velocidad instantánea en un tiempo dado, se define como el valor límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
txv).
=
vlim_{Δt→0txA esta expresión se le conoce también como la derivada de la posición con respecto al tiempo; es decir, la velocidad instantánea está dada por dtdxv. =ΔΔ}ΔΔ=

derivada de las funciones trigonométricas

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.

jueves, 20 de octubre de 2011

funciones trigonometricas

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

VELOCIDAD INSTANTANEA

miércoles, 19 de octubre de 2011

¿Cómo derivar la función seno?

La Velo0cidAd instaNtaNia

velocidad instantanea

funciones trigonometricas

la velocidad instantanea

funciones trigonometricas

velocidad instantanea

martes, 18 de octubre de 2011

¿Cómo derivar la velocidad instantánea?

velosidad instantanea por allan genaro

derivacion de las funciones trigonometricas

[editar] Derivada de la función coseno

velocidad instantanea

derivada de las funciones trigonométricas

Ejemplos

Datos personales

Archivo del blog