Cálculo Diferencial e Integral Grupo 501, 601.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x

¿Qué es el límite de una función?

Una función es una sucesión de puntos que se dirigen de acuerdo a una regla que es la ecuación o regla que se nos da, podemos tomar cualquier valor del eje x y saber a que valor en el eje y se acercara la sucesión de puntos cuando se acerca al valor en x especificado. Ejemplo: Sea la función Haciendo una pequeña tabla para graficar X Y -2 3 -1 -3 0 5 1 -3 2 3 ahora hallemos el límite de esta función cuando x tiende a 2, será: Es fácil ver en la grafica que tiende a -4, y si se remplaza x=1 en la función da –4, entonces: Este acercamiento se entiende como el valor más próximo y debemos hacer claridad que si bién en ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto escogido no siempre pasa esto. Ejemplo: Hallar Realizando una tabla y graficando queda: X Y -2 -0,33333 -1 -0,5 0 -1 1 e 2 1 Se observa en la gráfica que en x=1 no hay función por eso dibujamos la asintota como línea punteada. Si tratamos de encontrar un valor para x=1 nos encontraremos con una división por cero, y esto no es posible. Entonces veamos que en –1 se acerca al infinito por la derecha y al menos infinito por la izquierda. Entonces no hay límite por ser los dos valores diferentes.

Límite de una función en un punto

Límite finito

Límite infinito

Límite menos infinito

Límites laterales

Límites en el infinito

Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Operaciones con infinito y cero

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a^-n = 1/a ⁿ

Comparación de infinitos

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .